確率過程の離散化

A Blog Entry on Bayesian Computation by an Applied Mathematician

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(Jacod and Protter, 2012) 第１章参考．

参照過程は Brown 運動 $(W_t{)}_{t\in {\mathbb{R}}_{+}}$ のスケーリング $$X=\sigma W,(\sigma >0)$$ であるとする．

• $c:={\sigma }^2$ と表し，${\rho }_c:=\mathrm{N}(0,c)$ と表す．
• タイムステップ $\{{\mathrm{\Delta }}_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset {\mathbb{R}}_{+},{\mathrm{\Delta }}_n\searrow 0$ に関する $n\in \mathbb{N}$ 段階目の離散化を $$X_t^{({\mathrm{\Delta }}_n)}:=X_{{\mathrm{\Delta }}_n\lfloor \frac{t}{{\mathrm{\Delta }}_n}\rfloor }$$ で表す．
• ジャンプ時刻 $k{\mathrm{\Delta }}_n(k\in {\mathbb{N}}^{+})$ に至った瞬間に $X_{k{\mathrm{\Delta }}_n}$ の値に変化し，それまでは $X_{(k-1){\mathrm{\Delta }}_n}$ の値を保つ単過程であり，右連続であるために $\{X_t^{({\mathrm{\Delta }}_n)}{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathcal{L}(\mathrm{\Omega };D_{\mathbb{R}}({\mathbb{R}}_{+}))$ を満たすことに注意．
• 跳躍幅を $${\mathrm{\Delta }}_i^{n}X:=X_{i{\mathrm{\Delta }}_n}-X_{(i-1){\mathrm{\Delta }}_n}$$ で表す．
• 関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ に関して， $$V^n(f,X{)}_t:=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{t}{{\mathrm{\Delta }}_n}\rfloor }f({\mathrm{\Delta }}_i^{n}X)$$ $$V^{{}^{\prime }n}(f,X{)}_t:={\mathrm{\Delta }}_n\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{t}{{\mathrm{\Delta }}_n}\rfloor }f\left(\frac{{\mathrm{\Delta }}_i^{n}X}{\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_n}}\right)$$ と定めると，これらもやはり $D_{\mathrm{E}}({\mathbb{R}}_{+})$-過程である．

1 正規化汎函数 $V^{{}^{\prime }n}(f,X)$

1.1 $t\in {\mathbb{R}}_{+}$ 毎の収束

${\mathrm{\Delta }}_i^{n}X(i=1,2,\cdots )$ は独立同分布であるが，正規化を施したことにより， $$\frac{{\mathrm{\Delta }}_i^{n}X}{\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_n}}=\frac{X_{i{\mathrm{\Delta }}_n}-X_{(i-1){\mathrm{\Delta }}_n}}{\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_n}}\sim \mathrm{N}(0,c)$$ も離散化の段階 $n=0,1,\cdots$ に依らず独立同分布である．よって， $$f\left(\frac{{\mathrm{\Delta }}_i^{n}X}{\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_n}}\right)\sim ({\rho }_c(f),{\rho }_c(f^2)-{\rho }_c(f{)}^2)$$ を踏まえて，独立同分布列に対する０次と１次の漸近定理から $$V^{{}^{\prime }n}(f,X{)}_t\stackrel{\text{p}}{\to }t{\rho }_c(f)$$ $$\frac{V^{{}^{\prime }n}(f,X{)}_t-t{\rho }_c(f)}{\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_n}}\stackrel{\text{d}}{\to }\mathrm{N}(0,t({\rho }_c(f^2)-{\rho }_c(f{)}^2))$$ が言えそうである．

1. ０次の漸近論で概収束は示せない．

1.2 ${\mathbb{R}}_{+}$ 上の過程としての収束

${\mathbb{R}}_{+}$ で添字付けられた過程として，$D({\mathbb{R}}_{+})$ 上の Skorohod 位相について確率収束する．すなわち，任意の $t\in [0,T]$ に対して， $$\underset{s\le t}{sup}|Z_s^n-Z_s|\stackrel{\text{p}}{\to }0.$$ 加えて，汎函数中心極限定理から， $${(\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_n}}(V^{{}^{\prime }n}(f,X{)}_t-t{\rho }_c(f)))}_{t\ge 0}\stackrel{\text{d}}{\to }\sqrt{{\rho }_c(f^2)-{\rho }_c(f{)}^2}B.$$ が Skorohod 位相に関して成り立つ．これはさらに安定収束もするのである．

2 非正規化汎函数 $V^n(f,X)$

正規化を施さないために，${\mathrm{\Delta }}_i^{n}X(i=1,2,\cdots )$ は $0$ に漸近していき，関数 $f$ の $0$ での局所的な振る舞いが収束に影響を与えるようになる．

References

Jacod, J., and Protter, P. (2012). Discretization of processes. Springer Berlin, Heidelberg.