A Blog Entry on Bayesian Computation by an Applied Mathematician
$$
$$
(Jacod and Protter, 2012) 第１章参考．
参照過程は Brown 運動 \((W_t)_{t\in\mathbb{R}_+}\) のスケーリング \[ X=\sigma W,\quad(\sigma>0) \] であるとする．
- \(c:=\sigma^2\) と表し，\(\rho_c:=\mathrm{N}(0,c)\) と表す．
- タイムステップ \(\{\Delta_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset \mathbb{R}_+,\Delta_n\searrow0\) に関する \(n\in\mathbb{N}\) 段階目の離散化を \[ X_t^{(\Delta_n)}:=X_{\Delta_n\left\lfloor\frac{t}{\Delta_n}\right\rfloor} \] で表す．
- ジャンプ時刻 \(k\Delta_n\;(k\in\mathbb{N}^+)\) に至った瞬間に \(X_{k\Delta_n}\) の値に変化し，それまでは \(X_{(k-1)\Delta_{n}}\) の値を保つ単過程であり，右連続であるために \(\{X_t^{(\Delta_n)}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{L}(\Omega;D_\mathbb{R}(\mathbb{R}_+))\) を満たすことに注意．
- 跳躍幅を \[ \Delta^n_iX:=X_{i\Delta_n}-X_{(i-1)\Delta_n} \] で表す．
- 関数 \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) に関して， \[ V^n(f,X)_t:=\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{t}{\Delta_n}\right\rfloor}f(\Delta^n_iX) \] \[ V^{'n}(f,X)_t:=\Delta_n\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{t}{\Delta_n}\right\rfloor}f\left(\frac{\Delta^n_iX}{\sqrt{\Delta_n}}\right) \] と定めると，これらもやはり \(D_\operatorname{E}(\mathbb{R}_+)\)-過程である．
1 正規化汎函数 \(V^{'n}(f,X)\)
1.1 \(t\in\mathbb{R}_+\) 毎の収束
\(\Delta^n_iX\;(i=1,2,\cdots)\) は独立同分布であるが，正規化を施したことにより， \[ \frac{\Delta^n_iX}{\sqrt{\Delta_n}}=\frac{X_{i\Delta_n}-X_{(i-1)\Delta_n}}{\sqrt{\Delta_n}}\sim\mathrm{N}(0,c) \] も離散化の段階 \(n=0,1,\cdots\) に依らず独立同分布である．よって， \[ f\left(\frac{\Delta^n_iX}{\sqrt{\Delta_n}}\right)\sim(\rho_c(f),\rho_c(f^2)-\rho_c(f)^2) \] を踏まえて，独立同分布列に対する０次と１次の漸近定理から \[ V^{'n}(f,X)_t\overset{\text{p}}{\to}t\rho_c(f) \] \[ \frac{V^{'n}(f,X)_t-t\rho_c(f)}{\sqrt{\Delta_n}}\overset{\text{d}}{\to}\mathrm{N}\biggr(0,t(\rho_c(f^2)-\rho_c(f)^2)\biggl) \] が言えそうである．
- ０次の漸近論で概収束は示せない．
1.2 \(\mathbb{R}_+\) 上の過程としての収束
\(\mathbb{R}_+\) で添字付けられた過程として，\(D(\mathbb{R}_+)\) 上の Skorohod 位相について確率収束する．すなわち，任意の \(t\in[0,T]\) に対して， \[ \sup_{s\le t}\lvert Z^n_s-Z_s\rvert\overset{\text{p}}{\to}0. \] 加えて，汎函数中心極限定理から， \[ \left(\frac{1}{\sqrt{\Delta_n}}(V^{'n}(f,X)_t-t\rho_c(f))\right)_{t\ge0}\overset{\text{d}}{\to}\sqrt{\rho_c(f^2)-\rho_c(f)^2}B. \] が Skorohod 位相に関して成り立つ．これはさらに安定収束もするのである．
2 非正規化汎函数 \(V^n(f,X)\)
正規化を施さないために，\(\Delta^n_iX\;(i=1,2,\cdots)\) は \(0\) に漸近していき，関数 \(f\) の \(0\) での局所的な振る舞いが収束に影響を与えるようになる．