A Blog Entry on Bayesian Computation by an Applied Mathematician
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0.1 動機
(Prohorov, 1956) は，確率過程の極限定理を，
- 一様緊密性を通じて，弱相対コンパクトであることを示す．
- 有限次元周辺分布の収束を示す．
- 極限が存在することを示す．
という３段階によって示した．
３つのうち第２段階は困難なことが多いが，Markov 過程については，その遷移半群が有限次元周辺分布を，初期分布の違いを除いて決定するために，遷移半群の収束を代わりに示すことが考える．
さらに，遷移半群はその生成作用素と一対一対応をするため，代わりに生成作用素の収束を示すことも考えられる．
このとき，与えられた生成作用素を特徴付ける方法が，マルチンゲール問題である．
0.2 歴史的背景
マルチンゲール問題の接近は (Stroock and Varadhan, 1969) により創始され， (Stroock and Varadhan, 1979) でジャンプを持つ場合にも拡張された．伊藤拡散過程のみを扱っていたが，まず (Ethier and Kurtz, 1986) が一般の Markov 過程に拡張し，(Jacod and Shiryaev, 2003) が一般の半マルチンゲールに拡張した．1
しかし近年では，ファイナンスなどの分野を中心に，半マルチンゲールでさえない過程を考え，その極限定理を証明することが重要になってきているため，マルチンゲール問題の更なる拡張も試みられている (Criens et al., 2023)．
References
Criens, D., Pfaffelhuber, P., and Schmidt, T. (2023). The martingale problem method revisited. Electronic Journal of Probability, 28, 1–46.
Ethier, S. N., and Kurtz, T. G. (1986). Markov processes: Characterization and convergence. John Wiley & Sons, Inc.
Hoh, W. (1998). Pseudo-differential operators generating markov processes.
Jacod, J., and Shiryaev, A. N. (2003). Limit theorems for stochastic processes,Vol. 288. Springer Berlin, Heidelberg.
Prohorov, Yu. V. (1956). Convergence of random processes and limit theorems in probability theory. Theory of Probability and Its Applications, 1(2), 157–214.
Stroock, D. W., and Varadhan, S. R. S. (1969). Diffusion processes with continuous coefficients, i. Communications on Pure and Applied Mathematics, 22(3), 345–400.
Stroock, D. W., and Varadhan, S. R. S. (1979). Multidimensional diffusion processes. Springer Berlin Heidelberg.