A Blog Entry on Bayesian Computation by an Applied Mathematician
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離散分岐過程
定義
\(Y_1,Y_2,\cdots\) を \(\mathbb{Z}\)-値確率変数の列とし，\(\mu\in\mathcal{P}(\mathbb{Z})\) を初期分布とする．これに対して \[
X_0\sim\mu,\quad X_{n+1}:=1_{\left\{X_n\ge 1\right\}}\sum_{j=T_{n-1}+1}^{T_{n-1}+X_n}Y_j,
\] \[
T_{-1}:=0,\quad T_n:=\sum_{j=0}^nX_j\quad(n\in\mathbb{N}),
\] と定める．この過程 \(\{X_n\}_{n=0}^\infty\) を 分岐過程 といい，分布を \(\operatorname{P}_\mu\) と表す．
特に \(\{Y_n\}_{n=1}^\infty\subset\mathcal{L}(\Omega;\mathbb{N})\) が非負で独立同分布である場合，過程 \(\{X_n\}_{n=0}^\infty\subset\mathcal{L}(\Omega;\mathbb{N})\) を Bienaymé-Galton-Watson 分岐過程 という．
\(X_n\) を第 \(n\) 世代の個体数と解釈してみよう．\(T_n\) は第 \(n\) 世代までを含め，存在し得た全個体数を意味することとなる．
第 \(n\) 世代を構成する \(X_n\) 個体がそれぞれ \(Y_{T_{n-1}+1},\cdots,Y_{T_{n-1}+X_n}=Y_{T_n}\) 人の家族を遺して消滅し，これらの子孫が第 \(n+1\) 世代 \(X_{n+1}\) の構成員となる．
\(X_n\le0\) となった場合は以降も常に \(X_m=0\;(m\ge n)\) が成り立ち，\(0\) が吸収点となる．
\(X_n,Y_n\) に負の整数値も許す場合は，2つの種族の個体数の差を考える場合などと解釈できる．
乱歩への埋め込み
初期分布を \(\mu=\delta_1\) とすると，\(T_0=X_0=1\;\;\text{a.s.}\)．すると，任意の \(m\in\mathbb{N}^+\) について，事象 \(\left\{X_m\ge 1\right\}\) の上では， \[
T_{n}=1+\sum_{j=1}^{T_{n-1}}Y_j\quad(0\le n\le m+1)
\tag{1}\] \[
\begin{align*}
X_{n}&=T_{n}-T_{n-1}\\
&=1+\sum_{j=1}^{T_{n-1}}Y_j-T_{n-1}\\
&=1+\sum_{j=1}^{T_{n-1}}\widetilde{Y}_j\quad(0\le n\le m+1)
\end{align*}
\tag{2}\] \[
\widetilde{Y}_j:=Y_j-1\quad(j\in\mathbb{N}^+)
\] が成り立つ．
よって，絶滅しないという事象 \[
\bigcap_{m\in\mathbb{N}^+}\left\{X_m\ge 1\right\}=\left\{\lim_{n\to\infty}T_n=\infty\right\}
\] の上では，\(X_0=1\;\;\text{a.s.}\) から始まる乱歩 (random walk) \[
X_n=1+\widetilde{S}_{T_{n-1}}\quad(n\in\mathbb{N})
\] \[
\widetilde{S}_n:=\sum_{j=1}^n\widetilde{Y}_j\quad(n\in\mathbb{N})
\] と理解できる．
Markov性
\(\{X_n\}_{n=0}^\infty\subset\mathcal{L}(\Omega;\mathbb{Z})\) を，初期分布 \(\mu=\delta_1\) と確率変数列 \(\{Y_n\}_{n=1}^\infty\subset\mathcal{L}(\Omega;\mathbb{Z})\) が定める分岐過程，\(\mathcal{F}_n:=\sigma(X_k|k\in n+1)\) を \((X_n)\) が定める filtration とする．
- 任意の \(n\in\mathbb{N}^+\) について \(\operatorname{E}_{\delta_1}[Y_{n+1}|Y_1,\cdots,Y_n]=a\) ならば， \[
\operatorname{E}_{\delta_1}[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]=aX_n^+,\quad n\in\mathbb{N}.
\]
- 加えて \(\mathrm{V}_{\delta_1}[Y_{n+1}|Y_1,\cdots,Y_n]=\sigma^2\;(n\in\mathbb{N}^+)\) ならば， \[
\mathrm{V}_{\delta_1}[X_{n+1}|\mathcal{F}_n]=\sigma^2X_n^+,\quad n\in\mathbb{N}.
\]
- さらに \(\{Y_n\}_{n=1}^\infty\) が独立であるならば，\(\{(X_n,T_{n-1})\}_{n=1}^\infty\) は Markov 連鎖であるが，\(\{X_n\}_{n=0}^\infty\) は Markov 連鎖であるとは限らない．
- さらに \(\{Y_n\}_{n=1}^\infty\) が同分布であるならば，\(\{X_n\}_{n=0}^\infty\) と \(\{(X_n,T_{n-1})\}_{n=1}^\infty\) はいずれも時間的に一様な Markov 連鎖である．
任意の \(\{r_k\}_{k=1}^n\subset\mathbb{Z}\) について，等式 \[
\operatorname{E}_{\delta_1}[X_{n+1}|X_1=r_1,\cdots,X_n=r_n]=ar_n^+
\] を示せば良い．\(r_n\le0\) の場合は直ちに従うから，\(r_n\ge1\) として考える．この下では変形 式 1 を用いることが出来るから， \[
\begin{align*}
&\left\{\forall_{j\in[n]}\;X_j=r_j\right\}\\
&=\left\{\forall_{j\in[n-1]}\;T_j=i_j,X_n=r_n\right\}\\
&=\biggl\{\forall_{j\in[n-1]}\;\sum_{k=1}^{i_{j-1}}Y_k=i_j-1,\\
&\qquad\qquad\qquad\sum_{j=i_{n-2}+1}^{i_{n-1}}Y_j=r_n\biggr\}\\
&=:B_n
\end{align*}
\] \[
i_j:=1+r_1+\cdots+r_j,\quad j\in[n-1],
\] が成り立つから，仮定より \[
\operatorname{E}_{\delta_1}[Y_{j}1_{B_n}]=a\operatorname{P}_{\delta_1}[B_n]\quad(j\ge i_{n-1}+1)
\] であることに注意して， \[
\begin{align*}
&\operatorname{E}_{\delta_1}[X_{n+1}|X_1=r_1,\cdots,X_n=r_n]\\
&\qquad\cdot\operatorname{P}_{\delta_1}[X_1=r_1,\cdots,X_n=r_n]\\
&=\operatorname{E}_{\delta_1}[X_{n+1}1_{\left\{X_1=r_1,\cdots,X_n=r_n\right\}}]\\
&=\operatorname{E}_{\delta_1}\left[1_{B_n}\sum_{j=i_{n-1}+1}^{i_{n-1}+r_n}Y_j\right]\\
&=ar_n\operatorname{P}_{\delta_1}[B_n]
\end{align*}
\] を得る．両辺を \(\operatorname{P}_{\delta_1}[B_n]\) で割ると，初めの式を得る．
同様にして， \[
\begin{align*}
&\mathrm{V}_{\delta_1}[X_{n+1}|X_1=r_1,\cdots,X_n=r_n]\\
&=\operatorname{E}_{\delta_1}[X_{n+1}^2|B_n]-\operatorname{E}_{\delta_1}[X_{n+1}|B_n]^2\\
&=\operatorname{E}_{\delta_1}\left[\left(\sum_{j=i_{n-1}+1}^{i_{n-1}+r_n}Y_j\right)^2\:\middle|\:B_n\right]\\
&\qquad\qquad-\operatorname{E}_{\delta_1}\left[\sum_{j=i_{n-1}+1}^{i_{n-1}+r_n}Y_j\:\middle|\:B_n\right]^2\\
&=\sum_{j=i_{n-1}+1}^{i_{n-1}+r_n}\biggr(\operatorname{E}_{\delta_1}[Y_j^2|B_n]-\operatorname{E}_{\delta_1}[Y_j|B_n]^2\biggl)\\
&=\sigma^2r_n^+.
\end{align*}
\] ただし，途中の式変形で，任意の \(i_{n-1}<j<k\le i_{n}\) について \[
\begin{align*}
\operatorname{E}_{\delta_1}[Y_jY_k|B_n]&=\operatorname{E}_{\delta_1}\biggl[Y_j\operatorname{E}[Y_k|B_n,Y_j]\:\bigg|\:B_n\biggr]\\
&=\operatorname{E}_{\delta_1}[Y_ja|B_n]\\
&=a^2=\operatorname{E}_{\delta_1}[Y_j|B_n]\operatorname{E}_{\delta_1}[Y_k|B_n]
\end{align*}
\] が成り立つことを用いた．
\((Y_k)_{k=1}^\infty\) が独立であるとき，\((X_k)_{k=0}^\infty\) も独立である．これより，任意の時点 \(m_1<\cdots<m_k<n\in\mathbb{N}\) について，\(T_{m_k-1}\) が与えられた下で，\(X_k\;(k\ge m_k)\) と \(\mathcal{F}_{m_k-1}\) とは独立である．よって特に，\((X_{m_k},T_{m_k-1})\) が与えられた下で，\((X_n,T_{n-1})\) と \((X_{m_i},T_{m_i-1})\;(i<k)\) とは独立である．よって，条件付き独立性の性質 より \[
\begin{align*}
&\operatorname{P}_{\delta_1}\biggl[(X_{n},T_{n-1})=(r_{n},s_{n-1})\:\bigg|\:\\
&\qquad\qquad\forall_{i\in[k]}\;(X_{m_i},T_{m_i-1})=(r_{m_i},s_{m_i-1})\biggr]\\
&=\operatorname{P}_{\delta_1}\biggl[(X_n,T_{n-1})=(r_n,s_{n-1})\:\bigg|\:\\
&\qquad\qquad(X_{m_k},T_{m_k-1})=(r_{m_k},s_{m_k-1})\biggr]
\end{align*}
\] が成り立つ．
生存確率
\(\{Z_n\}_{n=0}^\infty\) を BGW 過程で，\(\operatorname{P}[Y_1\in 2]<1\) とする．このとき，\(\mu:=\operatorname{E}[Y_1]\in[0,\infty]\) について，
\(\mu\le1\) ならば， \[
\operatorname{P}_1[\forall_{n\in\mathbb{N}}\;Z_n\ge1]=0.
\]
\(\mu>1\) ならば，ある \(q\in[0,1)\) が存在して \[
\operatorname{P}_1[\forall_{n\in\mathbb{N}}\;Z_n\ge1]=1-q>0
\] を満たし，\(q\in[0,1)\) は \(Y_1\) の確率母関数 \[
g(z):=\sum_{k=0}^\infty\operatorname{P}[Y_1=k]z^k
\] に関する方程式 \(g(z)=z\) の \([0,1)\) 上でのただ一つの解である．
すなわち，「未来永劫絶滅しない」確率が正であるかどうかは \(Y_1\) の期待値 \(\mu\) のみに依存するが，その確率 \(1-q\) は \(Y_1\) の分布によって定まる．
連続分岐過程
定義
過程 \(\{X_t\}_{t\in\mathbb{R}_+}\subset\mathcal{L}(\Omega;\mathbb{R}_+)\) が（連続時間）分岐過程 であるとは， \[
Q_t(x,-)*Q_t(y,-)=Q_t(x+y,-)
\] を満たす確率核の半群 \(\{Q_t\}_{t\in\mathbb{R}_+}\subset B(\mathcal{L}_b(\mathbb{R}_+))\) が定めるMarkov過程であることをいう．
たしかに \(Q_t(0,-)=\delta_0\;(t\in\mathbb{R}_+)\) を満たす．
分岐性
\(\{X_t\},\{X'_t\}\subset\mathcal{L}(\Omega;\mathbb{R}_+)\) を遷移半群 \(\{Q_t\}\subset B(\mathcal{L}_b(\mathbb{R}_+))\) を共通とする，互いに独立な分岐過程とする． このとき，\(\{X_t+X'_t\}\) もやはり \(\{Q_t\}\) を遷移半群に持つ分岐過程である．
\(X_0,X_0'\) の分布をそれぞれ \(\nu,\nu'\in P(\mathbb{R})\) とすると， \(X_0\perp\!\!\!\perp X_0'\) より， \(X_0+X_0'\sim\nu*\nu'\) である． すると，任意の \(B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}_+)\) に対して， \[\begin{align*}
&\operatorname{P}[X_t+X_t'\in B]\\
&=\operatorname{E}[1_{\left\{X_t+X_t'\in B\right\}}]\\
&=\operatorname{E}\biggl[\operatorname{E}[1_{\left\{X_t\in B-x'\right\}}|X_t'=x']\biggr]\\
&=\int_{\mathbb{R}_+}\int_{\mathbb{R}_+}Q_t(x,B-x')\nu(dx)\operatorname{P}^{X_t'}(dx')\\
&=\int_{\mathbb{R}_+}\int_{\mathbb{R}_+}\int_{\mathbb{R}_+}Q_t(x,B-x')\nu(dx)Q_t(y,dx')\nu'(dy)\\
&=\int_{\mathbb{R}_+}\int_{\mathbb{R}_+}Q_t(x+y,B)\nu(dx)\nu'(dy)\\
&=\int_{\mathbb{R}_+}\int_{\mathbb{R}_+}Q_t(z,B)(\nu*\nu')(dz).
\end{align*}\]
\(f\in L(\mathbb{R}^d,\nu_1*\nu_2)\) について， \[
\int_{\mathbb{R}^d}f(z)(\nu_1*\nu_2)(dz)=\int_{\mathbb{R}^d}f(x+y)\nu_1(dx)\nu_2(dy).
\]
まず \(f=1_B\;(B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))\) という定義関数の場合は，定義からすぐに従う．一般の \(f\) については単関数近似による．
Feller性
分岐過程 \(\{X_t\}\) の遷移半群 \(\{Q_t\}\) は
- 任意 の\(x>0,t>0\) について，\(Q_t(x,\{0\})<1\)．
- \(Q_t(x,-)\overset{\text{d}}{\to}\delta_x(-)\;(t\to\infty)\)．
を満たすとする．このとき，\((Q_t)\) はFeller半群である．
References
Applebaum, D. (2009).
Lévy processes and stochastic calculus,Vol. 116. Cambridge University Press.
Bhattacharya, R., and Waymire, E. C. (2021).
Random walk, brownian motion, and martingales,Vol. 292. Springer Cham.
Bienaymé, I. J. (1845).
De la loi de multiplication et de la durée des familes.
Bulletin de La Société Philomathique de Paris,
5, 37–39.
Heyde, C. C., and Seneta, E. (1977).
I. J. Bienaymé: Statistical theory anticipated,Vol. 3. Springer New York.
Kendall, D. G. (1975).
The genealogy of genealogy branching processes before (and after) 1873.
Bulletin of the London Mathematical Society,
7(3), 225–253.
Watson, H. W., and Galton, F. (1875).
On the probability of the extinction of families.
The Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland,
4, 138–144.